Cálculo Exemplos

$y = 4 x \frac{1}{2} + 3 x \frac{5}{3} + x^{- 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x (\frac{1}{2}) + 3 x (\frac{5}{3}) + x^{- 2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})]$ .

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Etapa 1.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.2

Combine $x$ e $\frac{4}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot x}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 (1)}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})]$ .

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Etapa 1.3.1

Combine $3$ e $\frac{5}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{3 \cdot 5}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.3

Combine $x$ e $\frac{15}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.4

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{15 \cdot x}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $15$ e $3$ .

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $3$ de $15 x$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 (1)}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.5.2.4

Divida $5 x$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$2 + 5 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$2 + 5 - 2 x^{- 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $2$ e $5$ .

$7 - 2 x^{- 3}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$- 2 x^{- 3} + 7$

Etapa 1.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 7$

Etapa 1.5.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 7$

Etapa 1.5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 7$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2}{x^{3}} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.8

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{- 4} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{6}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $\frac{6}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$