Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Combine $\sec^{2} (2 x + 1)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Etapa 1.3.7.2

Combine $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ e $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Etapa 1.3.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Etapa 1.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 1.3.7.4.1

Fatore $2$ de $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Etapa 1.3.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.7.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x + 1)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Etapa 2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Etapa 2.3.2

Combine $\sec (2 x + 1)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Etapa 2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Etapa 2.3.4.2

Divida $\sec (2 x + 1)$ por $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.5

Eleve $\sec (2 x + 1)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.6

Eleve $\sec (2 x + 1)$ à potência de $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Etapa 2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.14.1

Some $2$ e $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Etapa 2.14.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$