Cálculo Exemplos

$y = {(x^{2} + 7 x)}^{40}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{40}$ e $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{40}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 40$ .

$40 u^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7 x$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 1.2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \cdot 1)$

Etapa 1.2.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$ em relação a $x$ é $40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$ .

$40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ e $g (x) = 2 x + 7$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [2 x + 7] + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + 0) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \cdot 2 + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 (2 \cdot {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{39}$ e $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{39}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 39$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 u^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Mova $39$ para a esquerda de $2 x + 7$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 \cdot (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x])$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Etapa 2.5.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \cdot 1))$

Etapa 2.5.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7))$

Etapa 2.6

Eleve $2 x + 7$ à potência de $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} (2 x + 7)) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.7

Eleve $2 x + 7$ à potência de $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} {(2 x + 7)}^{1}) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{1 + 1} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39}) + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.10.3

Multiplique $39$ por $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 ({(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Etapa 2.10.4

Fatore $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

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Etapa 2.10.4.1

Fatore $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$

Etapa 2.10.4.2

Fatore $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$

Etapa 2.10.4.3

Fatore $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$ .

$f'' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x) + 39 {(2 x + 7)}^{2})$