Cálculo Exemplos

$y = 7^{x^{6} + 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6} + 8$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)$

Etapa 1.2.4

Some $6 x^{5}$ e $0$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})$ .

$6 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{5} \ln (7)$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores em $6 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{5} \ln (7)$ .

$f' (x) = 6 x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $6 \ln (7)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ em relação a $x$ é $6 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$6 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$6 \ln (7) (x^{5} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6} + 8$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6} + 8$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.4

Some $6 x^{5}$ e $0$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.5

Multiplique $x^{5}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1

Mova $x^{5}$ .

$6 \ln (7) (x^{5} x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \ln (7) (x^{5 + 5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.5.3

Some $5$ e $5$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.6

Mova $6$ para a esquerda de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2

Combine os termos.

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Etapa 2.8.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 \ln (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2.2

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln (7)))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2.3

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{1 + 1})) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Etapa 2.8.2.6

Multiplique $5$ por $6$ .

$36 x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)) + 30 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4}$

Etapa 2.8.3

Reordene os termos.

$36 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{10} \ln^{2} (7) + 30 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4} \ln (7)$

Etapa 2.8.4

Reordene os fatores em $36 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{10} \ln^{2} (7) + 30 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4} \ln (7)$ .

$f'' (x) = 36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $36 \ln^{2} (7)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)$ em relação a $x$ é $36 \ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$36 \ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.8

Some $6 x^{5}$ e $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.9

Multiplique $x^{10}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.9.1

Mova $x^{5}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{5} x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 \ln^{2} (7) (x^{5 + 10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.9.3

Some $5$ e $10$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.2.10

Mova $6$ para a esquerda de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $30 \ln (7)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ em relação a $x$ é $30 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.8

Some $6 x^{5}$ e $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.9

Multiplique $x^{4}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.9.1

Mova $x^{5}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{5} x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{5 + 4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.9.3

Some $5$ e $4$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.3.10

Mova $6$ para a esquerda de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $6$ por $36$ .

$216 \ln^{2} (7) (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{2} (7) \ln^{1} (7)))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{2 + 1})) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.4

Some $2$ e $1$ .

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.5

Multiplique $10$ por $36$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.6

Multiplique $6$ por $30$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 \ln (7) (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.7

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln (7)))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.8

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{1 + 1})) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.10

Some $1$ e $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Etapa 3.4.3.11

Multiplique $4$ por $30$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)) + 120 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (x^{3}))$

Etapa 3.4.3.12

Mova $x^{9}$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 180 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3}$

Etapa 3.4.3.13

Some $360 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7)$ e $180 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7)$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3}$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$216 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{15} \ln^{3} (7) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3} \ln (7)$

Etapa 3.4.5

Reordene os fatores em $216 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{15} \ln^{3} (7) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3} \ln (7)$ .

$f''' (x) = 216 x^{15} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7) + 540 x^{9} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 120 x^{3} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$