Cálculo Exemplos

$y = {(\sqrt{x} - 7)}^{- 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.9

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Etapa 1.10

Combine frações.

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Etapa 1.10.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.10.2

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$

Etapa 1.10.3

Combine $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.10.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.10.4.1

Mova ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Etapa 1.10.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Etapa 2.3

Combine frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Etapa 2.3.3

Combine ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Etapa 2.3.4.2

Mova ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}] + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.11

Combine frações.

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Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.11.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.12

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.13

Simplifique os termos.

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Etapa 2.13.1

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.13.2

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.13.3

Combine $\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.13.4

Fatore $2$ de $4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.14.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.14.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.15

Simplifique os termos.

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Etapa 2.15.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.15.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.15.3

Divida $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.17

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 2.18

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.20.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 2.20.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 2.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 2.22

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.23

Combine ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.24

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.25

Para escrever $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.26

Combine $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.28

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.29

Multiplique $\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}}$ por $\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.30

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31

Simplifique.

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Etapa 2.31.1

Aplique a regra do produto a $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.31.3.1

Fatore $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 \cdot 4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

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Etapa 2.31.3.1.1

Mova ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.3.1.2

Fatore $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.3.1.3

Fatore $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.3.1.4

Fatore $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.3.2

Some $4 x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4

Combine os termos.

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Etapa 2.31.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.31.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.31.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{1} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.2

Simplifique.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}$ .

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Etapa 2.31.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4 \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.31.4.4

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.31.4.4.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 2.31.4.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.4.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.5

Fatore ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Etapa 2.31.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.31.4.6.1

Fatore ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ de $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Etapa 2.31.4.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Etapa 2.31.4.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5}}$