Cálculo Exemplos

$y = (x - 2) (x^{2} + 4 x - 5)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} + 4 x - 5$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5] + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$(x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.7

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 1.2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (1 + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) \cdot 1$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $x^{2} + 4 x - 5$ por $1$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4

Combine os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x + 4 \cdot x - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.8

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$2 x^{2} + 0 - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2} - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.10

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 + 4 x - 5$

Etapa 1.3.4.11

Subtraia $5$ de $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 13$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 4 x - 13$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 13]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 13$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$