Cálculo Exemplos

$y = 12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x^{2} - 1$ .

$12 (2 \cdot (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.8

Multiplique $2$ por $5$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + 0))$

Etapa 1.3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.10.1

Some $10 x$ e $0$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x))$

Etapa 1.3.10.2

Mova $10$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + 10 \cdot (x^{2} - 1) x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 ((2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 1) x + 10 (x^{2} - 1) x)$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 (x^{2} - 1) x)$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + (10 x^{2} + 10 \cdot - 1) x)$

Etapa 1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 x^{2} x + 10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 (5 x^{2}) x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6

Combine os termos.

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Etapa 1.4.6.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$12 (10 x^{2} x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.4

Some $1$ e $2$ .

$12 (10 x^{3}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.5

Multiplique $10$ por $12$ .

$120 x^{3} + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$120 x^{3} + 12 (- 2 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.7

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.10

Some $1$ e $2$ .

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{3}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.11

Multiplique $10$ por $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (10 \cdot - 1 x)$

Etapa 1.4.6.12

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (- 10 x)$

Etapa 1.4.6.13

Multiplique $- 10$ por $12$ .

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} - 120 x$

Etapa 1.4.6.14

Some $120 x^{3}$ e $120 x^{3}$ .

$240 x^{3} - 24 x - 120 x$

Etapa 1.4.6.15

Subtraia $120 x$ de $- 24 x$ .

$f' (x) = 240 x^{3} - 144 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $240 x^{3} - 144 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [240 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $240 x^{3}$ em relação a $x$ é $240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$240 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$240 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $240$ .

$720 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 144$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 144 x$ em relação a $x$ é $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$720 x^{2} - 144 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$720 x^{2} - 144 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 144$ por $1$ .

$f'' (x) = 720 x^{2} - 144$