Cálculo Exemplos

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + \frac{4}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Etapa 1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Etapa 1.2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

Etapa 1.3.2.2

Combine $\frac{- 16}{x^{2}}$ e ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{7 x + 4}{x}$ .

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Combine $16$ e $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 1.3.6

Combine.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Etapa 1.3.7.2

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Etapa 1.3.8

Multiplique $16 {(7 x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ e $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 7 x + 4$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $7$ e $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.6.2

Multiplique $7$ por $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.5.8

Combine frações.

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Etapa 2.5.8.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 2.5.8.2

Combine $- 16$ e $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.5.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ de $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

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Etapa 2.6.2.1.1

Fatore $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ de $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.1.2

Fatore $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ de $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.1.3

Fatore $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ de $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.2

Mova $21$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.4

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.5

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.6

Subtraia $35 x$ de $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.7

Fatore $2$ de $- 14 x - 20$ .

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Etapa 2.6.2.7.1

Fatore $2$ de $- 14 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.7.2

Fatore $2$ de $- 20$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.7.3

Fatore $2$ de $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.8

Multiplique $2$ por $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Etapa 2.6.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{10}$ .

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Etapa 2.6.3.1

Fatore $x^{4}$ de $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.3.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

Etapa 2.6.4

Fatore $- 1$ de $- 7 x$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

Etapa 2.6.5

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

Etapa 2.6.6

Fatore $- 1$ de $- (7 x) - 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 2.6.7

Reescreva $- (7 x + 10)$ como $- 1 (7 x + 10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

Etapa 2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Etapa 2.6.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Etapa 2.6.10

Multiplique $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ por $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Etapa 2.6.11

Reordene os fatores em $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$