Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \ln (x)$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 8]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 2.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 8]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(1, 8)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(1, 8)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(1, 8)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(1, 8)$ , porque a derivada é contínua em $(1, 8)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[1, 8]$ e diferenciável em $(1, 8)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[1, 8]$ e diferenciável em $(1, 8)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[1, 8]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[1, 8]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = \ln (8)$

Etapa 8.2

A resposta final é $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Etapa 9

Resolva $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Fatore cada termo.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Etapa 9.1.2

Some $\ln (8)$ e $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Etapa 9.1.5

Reescreva $\frac{\ln (8)}{7}$ como $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Etapa 9.1.6

Simplifique $\frac{1}{7} \ln (8)$ movendo $\frac{1}{7}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 9.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Etapa 9.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Reordene os fatores em $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Etapa 9.4

Resolva a equação.

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Etapa 9.4.1

Reescreva a equação como $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Etapa 9.4.2

Divida cada termo em $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ por $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ e simplifique.

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Etapa 9.4.2.1

Divida cada termo em $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ por $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 9.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 9.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 8$

Etapa 11