Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1 d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{- 2} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 9

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{x} + \frac{7 x^{2}}{2} - x + C$

Etapa 12.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$