Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} (t^{12} \ln (t))$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta derivada usando a regra do produto. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{12}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$t^{12} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $t^{12}$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{12}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $t^{12}$ e $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Fatore $t$ de $t^{12}$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{11}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.2.2.5

Divida $t^{11}$ por $1$ .

$t^{11} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$t^{11} + \ln (t) (12 t^{11})$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$f' (t) = t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 11$ .

$11 t^{10} + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12 t^{11} \ln (t)$ em relação a $t$ é $12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$ .

$11 t^{10} + 12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{11}$ e $g (t) = \ln (t)$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 11$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.5

Combine $t^{11}$ e $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{11}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $t^{11}$ e $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Fatore $t$ de $t^{11}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t^{1}} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{10}}{1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.2.6.2.5

Divida $t^{10}$ por $1$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{10} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 12 (\ln (t) (11 t^{10}))$

Etapa 3.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $11$ por $12$ .

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 132 (\ln (t) (t^{10}))$

Etapa 3.3.2.2

Some $11 t^{10}$ e $12 t^{10}$ .

$23 t^{10} + 132 \ln (t) t^{10}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$f'' (t) = 23 t^{10} + 132 t^{10} \ln (t)$