Cálculo Exemplos

$y = {(4 x - 7)}^{5} {(5 x + 8)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(4 x - 7)}^{5}$ e $g (x) = {(5 x + 8)}^{3}$ .

${(4 x - 7)}^{5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 8)}^{3}] + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x + 8$ .

${(4 x - 7)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [5 x + 8]) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [5 x + 8]) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x + 8$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x + 8]) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.4

Multiplique $5$ por $1$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} (5 + \frac{d}{d x} [8])) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} (5 + 0)) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Some $5$ e $0$ .

${(4 x - 7)}^{5} (3 {(5 x + 8)}^{2} \cdot 5) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 7)}^{5}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 4 x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x - 7$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x - 7$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Etapa 5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Etapa 5.4

Multiplique $4$ por $1$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Etapa 5.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} (4 + 0))$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Some $4$ e $0$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (5 {(4 x - 7)}^{4} \cdot 4)$

Etapa 5.6.2

Multiplique $4$ por $5$ .

${(4 x - 7)}^{5} (15 {(5 x + 8)}^{2}) + {(5 x + 8)}^{3} (20 {(4 x - 7)}^{4})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova $15$ para a esquerda de ${(4 x - 7)}^{5}$ .

$15 \cdot {(4 x - 7)}^{5} {(5 x + 8)}^{2} + {(5 x + 8)}^{3} (20 {(4 x - 7)}^{4})$

Etapa 6.2

Mova $20$ para a esquerda de ${(5 x + 8)}^{3}$ .

$15 {(4 x - 7)}^{5} {(5 x + 8)}^{2} + 20 \cdot {(5 x + 8)}^{3} {(4 x - 7)}^{4}$

Etapa 6.3

Fatore $5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2}$ de $15 {(4 x - 7)}^{5} {(5 x + 8)}^{2} + 20 {(5 x + 8)}^{3} {(4 x - 7)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2}$ de $15 {(4 x - 7)}^{5} {(5 x + 8)}^{2}$ .

$5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (3 (4 x - 7)) + 20 {(5 x + 8)}^{3} {(4 x - 7)}^{4}$

Etapa 6.3.2

Fatore $5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2}$ de $20 {(5 x + 8)}^{3} {(4 x - 7)}^{4}$ .

$5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (3 (4 x - 7)) + 5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (4 (5 x + 8))$

Etapa 6.3.3

Fatore $5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2}$ de $5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (3 (4 x - 7)) + 5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (4 (5 x + 8))$ .

$5 {(4 x - 7)}^{4} {(5 x + 8)}^{2} (3 (4 x - 7) + 4 (5 x + 8))$