Cálculo Exemplos

$f (x) = x (12 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 12 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [12 - x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x \cdot - 1 + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 1 \cdot x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x + (12 - x) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.1.1.2.8.1

Multiplique $12 - x$ por $1$ .

$- x + 12 - x$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 12$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + 12$ .

$- 2 x + 12$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 12 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 12$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 2 x = - 12$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 12$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 12$ por $- 2$ .

$x = 6$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x (12 - x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$(6) (12 - (6))$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$6 (12 - 6)$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $6$ de $12$ .

$6 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$36$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(6, 36)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 6)$ na primeira derivada $- 2 x + 12$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 12$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Etapa 2.2.2.2

Some $0$ e $12$ .

$f' (0) = 12$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(6, \infty)$ na primeira derivada $- 2 x + 12$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - 2 \cdot 8 + 12$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f' (8) = - 16 + 12$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 16$ e $12$ .

$f' (8) = - 4$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 6$ , então $x = 6$ é um máximo local.

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(6, 36)$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 4