Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 2 \cos (x)$ , $0 < x < 2 π$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 - 2 (- \sin (x))$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 2 \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + 2 \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + 2 \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 1.2.6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 1.2.7.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 1.2.9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 1.2.9.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 1.2.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 1.2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 1.2.9.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 1.2.9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 1.2.10

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x - 2 \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{7 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{7 π}{6}) - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{7 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.4.1.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{7 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{7 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{7 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{7 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{7 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{7 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{19 π}{6}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{19 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{19 π}{6}) - 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{19 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{19 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.4.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{19 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{19 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{19 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{19 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 1.4.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{19 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.2.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{19 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = \frac{31 π}{6}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Substitua $\frac{31 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{31 π}{6}) - 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{31 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{31 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.4.3.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{31 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{31 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.3.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{31 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.3.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{31 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.3.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{31 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 1.4.3.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{31 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.3.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{31 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.4

Avalie em $x = \frac{43 π}{6}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Substitua $\frac{43 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{43 π}{6}) - 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{43 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{43 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.4.4.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{43 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{43 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.4.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{43 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.4.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{43 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.4.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{43 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 1.4.4.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{43 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.4.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{43 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.5

Avalie em $x = \frac{55 π}{6}$ .

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Etapa 1.4.5.1

Substitua $\frac{55 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{55 π}{6}) - 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{55 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 1.4.5.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{55 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.4.5.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{55 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{55 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.5.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{55 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.5.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{55 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.5.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{55 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 1.4.5.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{55 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.5.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{55 π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.6

Avalie em $x = \frac{11 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Substitua $\frac{11 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{11 π}{6}) - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 1.4.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{11 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.6.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{11 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{11 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.6.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{11 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.6.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.6.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.7

Avalie em $x = \frac{23 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Substitua $\frac{23 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{23 π}{6}) - 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

Etapa 1.4.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{23 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 1.4.7.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{23 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.7.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{23 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{23 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.7.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{23 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.7.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{23 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.7.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{23 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.8

Avalie em $x = \frac{35 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Substitua $\frac{35 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{35 π}{6}) - 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

Etapa 1.4.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{35 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 1.4.8.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{35 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.8.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{35 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.8.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{35 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.8.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{35 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.8.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{35 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.8.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.9

Avalie em $x = \frac{47 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.1

Substitua $\frac{47 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{47 π}{6}) - 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

Etapa 1.4.9.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{47 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 1.4.9.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{47 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.9.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{47 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{47 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.9.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{47 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.9.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{47 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.9.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{47 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.10

Avalie em $x = \frac{59 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.1

Substitua $\frac{59 π}{6}$ por $x$ .

$(\frac{59 π}{6}) - 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

Etapa 1.4.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{59 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 1.4.10.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{59 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.10.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{59 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.10.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{59 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.10.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{59 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.10.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{59 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 1.4.10.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{59 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.11

Liste todos os pontos.

$(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, \frac{19 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, \frac{31 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, \frac{43 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, \frac{55 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, \frac{23 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, \frac{35 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, \frac{47 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, \frac{59 π}{6} - \sqrt{3})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3})$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}) \cup (\frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6}) \cup (\frac{23 π}{6}, \frac{31 π}{6}) \cup (\frac{31 π}{6}, \frac{35 π}{6}) \cup (\frac{35 π}{6}, \frac{43 π}{6}) \cup (\frac{43 π}{6}, \frac{47 π}{6}) \cup (\frac{47 π}{6}, \frac{55 π}{6}) \cup (\frac{55 π}{6}, \frac{59 π}{6}) \cup (\frac{59 π}{6}, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{7 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 1 + 2 \sin (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Etapa 3.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $5$ , do intervalo $(\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = 1 + 2 \sin (5)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Avalie $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1 + 2 \cdot - 0.95892427$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.95892427$ .

$f' (5) = 1 - 1.91784854$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $1.91784854$ de $1$ .

$f' (5) = - 0.91784854$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 0.91784854$ .

$- 0.91784854$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(\frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = 1 + 2 \sin (8)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Avalie $\sin (8)$ .

$f' (8) = 1 + 2 \cdot 0.98935824$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.98935824$ .

$f' (8) = 1 + 1.97871649$

Etapa 3.4.2.2

Some $1$ e $1.97871649$ .

$f' (8) = 2.97871649$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $2.97871649$ .

$2.97871649$

Etapa 3.5

Substitua qualquer número, como $11$ , do intervalo $(\frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $11$ na expressão.

$f' (11) = 1 + 2 \sin (11)$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Avalie $\sin (11)$ .

$f' (11) = 1 + 2 \cdot - 0.9999902$

Etapa 3.5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.9999902$ .

$f' (11) = 1 - 1.99998041$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $1.99998041$ de $1$ .

$f' (11) = - 0.99998041$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $- 0.99998041$ .

$- 0.99998041$

Etapa 3.6

Substitua qualquer número, como $14$ , do intervalo $(\frac{23 π}{6}, \frac{31 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua a variável $x$ por $14$ na expressão.

$f' (14) = 1 + 2 \sin (14)$

Etapa 3.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Avalie $\sin (14)$ .

$f' (14) = 1 + 2 \cdot 0.99060735$

Etapa 3.6.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.99060735$ .

$f' (14) = 1 + 1.98121471$

Etapa 3.6.2.2

Some $1$ e $1.98121471$ .

$f' (14) = 2.98121471$

Etapa 3.6.2.3

A resposta final é $2.98121471$ .

$2.98121471$

Etapa 3.7

Substitua qualquer número, como $17$ , do intervalo $(\frac{31 π}{6}, \frac{35 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Substitua a variável $x$ por $17$ na expressão.

$f' (17) = 1 + 2 \sin (17)$

Etapa 3.7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Avalie $\sin (17)$ .

$f' (17) = 1 + 2 \cdot - 0.96139749$

Etapa 3.7.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.96139749$ .

$f' (17) = 1 - 1.92279498$

Etapa 3.7.2.2

Subtraia $1.92279498$ de $1$ .

$f' (17) = - 0.92279498$

Etapa 3.7.2.3

A resposta final é $- 0.92279498$ .

$- 0.92279498$

Etapa 3.8

Substitua qualquer número, como $20$ , do intervalo $(\frac{35 π}{6}, \frac{43 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Substitua a variável $x$ por $20$ na expressão.

$f' (20) = 1 + 2 \sin (20)$

Etapa 3.8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1

Avalie $\sin (20)$ .

$f' (20) = 1 + 2 \cdot 0.91294525$

Etapa 3.8.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.91294525$ .

$f' (20) = 1 + 1.8258905$

Etapa 3.8.2.2

Some $1$ e $1.8258905$ .

$f' (20) = 2.8258905$

Etapa 3.8.2.3

A resposta final é $2.8258905$ .

$2.8258905$

Etapa 3.9

Substitua qualquer número, como $24$ , do intervalo $(\frac{43 π}{6}, \frac{47 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua a variável $x$ por $24$ na expressão.

$f' (24) = 1 + 2 \sin (24)$

Etapa 3.9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.1

Avalie $\sin (24)$ .

$f' (24) = 1 + 2 \cdot - 0.90557836$

Etapa 3.9.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.90557836$ .

$f' (24) = 1 - 1.81115672$

Etapa 3.9.2.2

Subtraia $1.81115672$ de $1$ .

$f' (24) = - 0.81115672$

Etapa 3.9.2.3

A resposta final é $- 0.81115672$ .

$- 0.81115672$

Etapa 3.10

Substitua qualquer número, como $27$ , do intervalo $(\frac{47 π}{6}, \frac{55 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Substitua a variável $x$ por $27$ na expressão.

$f' (27) = 1 + 2 \sin (27)$

Etapa 3.10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1.1

Avalie $\sin (27)$ .

$f' (27) = 1 + 2 \cdot 0.95637592$

Etapa 3.10.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.95637592$ .

$f' (27) = 1 + 1.91275185$

Etapa 3.10.2.2

Some $1$ e $1.91275185$ .

$f' (27) = 2.91275185$

Etapa 3.10.2.3

A resposta final é $2.91275185$ .

$2.91275185$

Etapa 3.11

Substitua qualquer número, como $30$ , do intervalo $(\frac{55 π}{6}, \frac{59 π}{6})$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Substitua a variável $x$ por $30$ na expressão.

$f' (30) = 1 + 2 \sin (30)$

Etapa 3.11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.1

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$f' (30) = 1 + 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.11.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (30) = 1 + 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.11.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (30) = 1 + 1$

Etapa 3.11.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f' (30) = 2$

Etapa 3.11.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 3.12

Substitua qualquer número, como $33$ , do intervalo $(\frac{59 π}{6}, \infty)$ na primeira derivada $1 + 2 \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Substitua a variável $x$ por $33$ na expressão.

$f' (33) = 1 + 2 \sin (33)$

Etapa 3.12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.1

Avalie $\sin (33)$ .

$f' (33) = 1 + 2 \cdot 0.99991186$

Etapa 3.12.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.99991186$ .

$f' (33) = 1 + 1.99982372$

Etapa 3.12.2.2

Some $1$ e $1.99982372$ .

$f' (33) = 2.99982372$

Etapa 3.12.2.3

A resposta final é $2.99982372$ .

$2.99982372$

Etapa 3.13

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{7 π}{6}$ , então $x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 3.14

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{11 π}{6}$ , então $x = \frac{11 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{11 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 3.15

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{19 π}{6}$ , então $x = \frac{19 π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{19 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 3.16

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{23 π}{6}$ , então $x = \frac{23 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{23 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 3.17

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{31 π}{6}$ , então $x = \frac{31 π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{31 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 3.18

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{35 π}{6}$ , então $x = \frac{35 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{35 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 3.19

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{43 π}{6}$ , então $x = \frac{43 π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{43 π}{6}$ é um máximo local

Etapa 3.20

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{47 π}{6}$ , então $x = \frac{47 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{47 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 3.21

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{55 π}{6}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 3.22

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - 2 \cos (x)$ .

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{11 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{19 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{23 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{31 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{35 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{43 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{47 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{7 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{11 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{19 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{23 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{31 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{35 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{43 π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{47 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3})$

Mínimo absoluto: $(\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3})$

Etapa 5