Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 2 \sin (x)$ , $(0, π)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + 2 \cos (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + 2 \cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.6

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.7

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 1.2.7.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.7.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.7.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 1.2.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.7.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 1.2.7.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.9

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x + 2 \sin (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{2 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.1.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{8 π}{3}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{8 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{8 π}{3}) + 2 \sin (\frac{8 π}{3})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.2.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = \frac{14 π}{3}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Substitua $\frac{14 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{14 π}{3}) + 2 \sin (\frac{14 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.3.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{14 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.4

Avalie em $x = \frac{20 π}{3}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Substitua $\frac{20 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{20 π}{3}) + 2 \sin (\frac{20 π}{3})$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.4.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{20 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.5

Avalie em $x = \frac{26 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Substitua $\frac{26 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{26 π}{3}) + 2 \sin (\frac{26 π}{3})$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.5.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.4.5.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{26 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 1.4.6

Avalie em $x = \frac{4 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Substitua $\frac{4 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 1.4.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 1.4.6.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.6.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.6.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.7

Avalie em $x = \frac{10 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Substitua $\frac{10 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{10 π}{3})$

Etapa 1.4.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 1.4.7.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 1.4.7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.7.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.7.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.8

Avalie em $x = \frac{16 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Substitua $\frac{16 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{16 π}{3}) + 2 \sin (\frac{16 π}{3})$

Etapa 1.4.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 1.4.8.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 1.4.8.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.8.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.8.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.8.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{16 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.9

Avalie em $x = \frac{22 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.1

Substitua $\frac{22 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{22 π}{3}) + 2 \sin (\frac{22 π}{3})$

Etapa 1.4.9.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 1.4.9.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 1.4.9.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.9.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.9.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.9.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{22 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.10

Avalie em $x = \frac{28 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.1

Substitua $\frac{28 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{28 π}{3}) + 2 \sin (\frac{28 π}{3})$

Etapa 1.4.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 1.4.10.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 1.4.10.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.4.10.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.10.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.10.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 1.4.11

Liste todos os pontos.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, \frac{8 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, \frac{14 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, \frac{20 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, \frac{26 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, \frac{10 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, \frac{16 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, \frac{22 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, \frac{28 π}{3} - \sqrt{3})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}) \cup (\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}) \cup (\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3}) \cup (\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3}) \cup (\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3}) \cup (\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3}) \cup (\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3}) \cup (\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3}) \cup (\frac{28 π}{3}, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{2 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 1 + 2 \cos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 1$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (0) = 1 + 2$

Etapa 3.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (0) = 3$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 1 + 2 \cos (3)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 2 \cdot - 0.98999249$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 - 1.97998499$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $1.97998499$ de $1$ .

$f' (3) = - 0.97998499$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 0.97998499$ .

$- 0.97998499$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 1 + 2 \cos (6)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Avalie $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 2 \cdot 0.96017028$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.96017028$ .

$f' (6) = 1 + 1.92034057$

Etapa 3.4.2.2

Some $1$ e $1.92034057$ .

$f' (6) = 2.92034057$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $2.92034057$ .

$2.92034057$

Etapa 3.5

Substitua qualquer número, como $9$ , do intervalo $(\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = 1 + 2 \cos (9)$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Avalie $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 2 \cdot - 0.91113026$

Etapa 3.5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 - 1.82226052$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $1.82226052$ de $1$ .

$f' (9) = - 0.82226052$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $- 0.82226052$ .

$- 0.82226052$

Etapa 3.6

Substitua qualquer número, como $13$ , do intervalo $(\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua a variável $x$ por $13$ na expressão.

$f' (13) = 1 + 2 \cos (13)$

Etapa 3.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Avalie $\cos (13)$ .

$f' (13) = 1 + 2 \cdot 0.90744678$

Etapa 3.6.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.90744678$ .

$f' (13) = 1 + 1.81489356$

Etapa 3.6.2.2

Some $1$ e $1.81489356$ .

$f' (13) = 2.81489356$

Etapa 3.6.2.3

A resposta final é $2.81489356$ .

$2.81489356$

Etapa 3.7

Substitua qualquer número, como $16$ , do intervalo $(\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Substitua a variável $x$ por $16$ na expressão.

$f' (16) = 1 + 2 \cos (16)$

Etapa 3.7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Avalie $\cos (16)$ .

$f' (16) = 1 + 2 \cdot - 0.95765948$

Etapa 3.7.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.95765948$ .

$f' (16) = 1 - 1.91531896$

Etapa 3.7.2.2

Subtraia $1.91531896$ de $1$ .

$f' (16) = - 0.91531896$

Etapa 3.7.2.3

A resposta final é $- 0.91531896$ .

$- 0.91531896$

Etapa 3.8

Substitua qualquer número, como $19$ , do intervalo $(\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Substitua a variável $x$ por $19$ na expressão.

$f' (19) = 1 + 2 \cos (19)$

Etapa 3.8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1.1

Avalie $\cos (19)$ .

$f' (19) = 1 + 2 \cdot 0.98870461$

Etapa 3.8.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.98870461$ .

$f' (19) = 1 + 1.97740923$

Etapa 3.8.2.2

Some $1$ e $1.97740923$ .

$f' (19) = 2.97740923$

Etapa 3.8.2.3

A resposta final é $2.97740923$ .

$2.97740923$

Etapa 3.9

Substitua qualquer número, como $22$ , do intervalo $(\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua a variável $x$ por $22$ na expressão.

$f' (22) = 1 + 2 \cos (22)$

Etapa 3.9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.1

Avalie $\cos (22)$ .

$f' (22) = 1 + 2 \cdot - 0.99996082$

Etapa 3.9.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.99996082$ .

$f' (22) = 1 - 1.99992165$

Etapa 3.9.2.2

Subtraia $1.99992165$ de $1$ .

$f' (22) = - 0.99992165$

Etapa 3.9.2.3

A resposta final é $- 0.99992165$ .

$- 0.99992165$

Etapa 3.10

Substitua qualquer número, como $25$ , do intervalo $(\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Substitua a variável $x$ por $25$ na expressão.

$f' (25) = 1 + 2 \cos (25)$

Etapa 3.10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1.1

Avalie $\cos (25)$ .

$f' (25) = 1 + 2 \cdot 0.99120281$

Etapa 3.10.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.99120281$ .

$f' (25) = 1 + 1.98240562$

Etapa 3.10.2.2

Some $1$ e $1.98240562$ .

$f' (25) = 2.98240562$

Etapa 3.10.2.3

A resposta final é $2.98240562$ .

$2.98240562$

Etapa 3.11

Substitua qualquer número, como $28$ , do intervalo $(\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3})$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Substitua a variável $x$ por $28$ na expressão.

$f' (28) = 1 + 2 \cos (28)$

Etapa 3.11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1.1

Avalie $\cos (28)$ .

$f' (28) = 1 + 2 \cdot - 0.96260586$

Etapa 3.11.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.96260586$ .

$f' (28) = 1 - 1.92521173$

Etapa 3.11.2.2

Subtraia $1.92521173$ de $1$ .

$f' (28) = - 0.92521173$

Etapa 3.11.2.3

A resposta final é $- 0.92521173$ .

$- 0.92521173$

Etapa 3.12

Substitua qualquer número, como $32$ , do intervalo $(\frac{28 π}{3}, \infty)$ na primeira derivada $1 + 2 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Substitua a variável $x$ por $32$ na expressão.

$f' (32) = 1 + 2 \cos (32)$

Etapa 3.12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.1

Avalie $\cos (32)$ .

$f' (32) = 1 + 2 \cdot 0.83422336$

Etapa 3.12.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.83422336$ .

$f' (32) = 1 + 1.66844672$

Etapa 3.12.2.2

Some $1$ e $1.66844672$ .

$f' (32) = 2.66844672$

Etapa 3.12.2.3

A resposta final é $2.66844672$ .

$2.66844672$

Etapa 3.13

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{2 π}{3}$ , então $x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local.

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.14

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{4 π}{3}$ , então $x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 3.15

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{8 π}{3}$ , então $x = \frac{8 π}{3}$ é um máximo local.

$x = \frac{8 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.16

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{10 π}{3}$ , então $x = \frac{10 π}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{10 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 3.17

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{14 π}{3}$ , então $x = \frac{14 π}{3}$ é um máximo local.

$x = \frac{14 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.18

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{16 π}{3}$ , então $x = \frac{16 π}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{16 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 3.19

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{20 π}{3}$ , então $x = \frac{20 π}{3}$ é um máximo local.

$x = \frac{20 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.20

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{22 π}{3}$ , então $x = \frac{22 π}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{22 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 3.21

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{26 π}{3}$ , então $x = \frac{26 π}{3}$ é um máximo local.

$x = \frac{26 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.22

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{28 π}{3}$ , então $x = \frac{28 π}{3}$ é um mínimo local.

$x = \frac{28 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 3.23

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{8 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{10 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{14 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{16 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{20 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{22 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{26 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{28 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{8 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{10 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{14 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{16 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{20 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{22 π}{3}$ é um mínimo local

$x = \frac{26 π}{3}$ é um máximo local

$x = \frac{28 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 5