Cálculo Exemplos

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d y} (4 (x - 5))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 3) (y - 3)]$

Etapa 2.2

Expanda $(y - 3) (y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 6 y + 9]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 6 y + 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.6

Como $- 6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 6 y$ em relação a $y$ é $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 y - 6 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 2.9

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y - 6 + 0$

Etapa 2.10

Some $2 y - 6$ e $0$ .

$2 y - 6$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 (x - 5)$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x - 5]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 (x' + \frac{d}{d y} [- 5])$

Etapa 3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5$ em relação a $y$ é $0$ .

$4 (x' + 0)$

Etapa 3.5

Some $x'$ e $0$ .

$4 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y - 6 = 4 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $4 x' = 2 y - 6$ .

$4 x' = 2 y - 6$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 x' = 2 y - 6$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 x' = 2 y - 6$ por $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (y)}{4} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 6}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 (- 3)}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $9$ e $y$ por $7$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 - 3}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Subtraia $3$ de $7$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 8.2.2

Divida $4$ por $2$ .

$2$