Cálculo Exemplos

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x e^{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Etapa 3.5.3

Reordene os fatores em $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Etapa 6

Substitua $x$ por $0$ e $y$ por $0$ na expressão.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Etapa 7

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Etapa 7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Etapa 7.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Etapa 7.1.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Etapa 7.2

Some $0$ e $8$ .

$8$