Cálculo Exemplos

$3 \sin (y) + x = y^{2}$ ; $(π^{2}, π)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (3 \sin (y) + x) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sin (y) + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 \sin (y)$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 \cos (y) + x'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$x' + 3 \cos (y)$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' + 3 \cos (y) = 2 y$

Etapa 5

Subtraia $3 \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$x' = 2 y - 3 \cos (y)$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 y - 3 \cos (y)$

Etapa 7

Substitua $x$ por $p^{2}$ e $y$ por $p$ na expressão.

$\frac{d x}{d y} = 2 (p) - 3 \cos (p)$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $p$ .

$2 p - 3 \cos (p)$