Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Escreva $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2.3

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2.4

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.7.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Etapa 2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Etapa 2.11.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Etapa 2.11.3

Reordene os termos.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x \ln (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.8

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.9

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.10

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.12.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.12.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.13

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.14

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.14.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.14.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.2.15

Multiplique $\ln (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Etapa 3.4.2.2

Some $10$ e $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Etapa 5.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3.2.3

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3.2.4

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.5.3.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.7.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.3.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.7.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Etapa 5.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Etapa 5.1.11.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Etapa 5.1.11.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ por $10 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ por $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $\ln (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $5$ de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Etapa 6.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Fatore $5$ de $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Etapa 6.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Etapa 6.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 6.3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 6.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 6.5

Reescreva $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Etapa 6.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Reescreva a equação como $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 6.6.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 6.6.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 6.6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 6.6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.2.1

Simplifique $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.6.3.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o argumento em $\ln (\frac{x}{2})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x \leq 0 \cdot 2$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$x \leq 0$

Etapa 7.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Etapa 10.1.2

Combine.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Etapa 10.1.3

Reduza a expressão $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Cancele o fator comum.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Etapa 10.1.3.2

Reescreva a expressão.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Etapa 10.1.4

Mova $e^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Etapa 10.1.5

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ movendo $- \frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Etapa 10.1.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Etapa 10.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Etapa 10.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Etapa 10.1.8.2

Fatore $2$ de $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Etapa 10.1.8.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Etapa 10.1.8.4

Reescreva a expressão.

$5 \cdot - 1 + 15$

Etapa 10.1.9

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 + 15$

Etapa 10.2

Some $- 5$ e $15$ .

$10$

Etapa 11

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ na expressão.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.3

Multiplique $5 \frac{4}{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Combine $5$ e $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Etapa 12.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 12.2.5

Combine.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Etapa 12.2.6

Reduza a expressão $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Etapa 12.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 12.2.7

Mova $e^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 12.2.8

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ movendo $- \frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 12.2.9

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 12.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Etapa 12.2.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.11.2

Fatore $2$ de $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.11.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 12.2.11.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Etapa 12.2.12

Combine $\frac{10}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Etapa 12.2.13

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.13.1

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Etapa 12.2.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Etapa 12.2.14

A resposta final é $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ é um mínimo local

Etapa 14