Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos^{3} (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 2.2.6.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.6.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.2.11

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 7

Defina $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 7.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.7

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.7.2

O cosseno inverso de $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 7.2.8

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 7.2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.2.8.2

O cosseno inverso de $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ é indefinido.

Indefinido

Etapa 7.2.9

Liste todas as soluções.

Nenhuma solução

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, π$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.8

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Etapa 10.1.9

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Etapa 10.1.10

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 6 - 3$

Etapa 10.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 10.2.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6 - 3$

Etapa 10.2.2

Subtraia $3$ de $- 6$ .

$- 9$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Etapa 12.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Etapa 12.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Etapa 12.2.2

Some $2$ e $3$ .

$f (0) = 5$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.7

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.7.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.9

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.12

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Etapa 14.1.13

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Etapa 14.1.14

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.1.15

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 14.1.15.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Etapa 14.1.15.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Etapa 14.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 14.2.1

Some $0$ e $6$ .

$6 + 3$

Etapa 14.2.2

Some $6$ e $3$ .

$9$

Etapa 15

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Etapa 16.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Etapa 16.2.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.2.1.8

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Etapa 16.2.1.8.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Etapa 16.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ é um máximo local

$(π, - 5)$ é um mínimo local

Etapa 18