Cálculo Exemplos

$y = 100 x^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 1

Escreva $y = 100 x^{- \frac{1}{4}}$ como uma função.

$f (x) = 100 x^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 x^{- \frac{1}{4}}$ em relação a $x$ é $100 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{4}$ .

$100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$100 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Etapa 2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$100 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Etapa 2.1.8

Combine $x^{- \frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$100 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Etapa 2.1.9

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$- 100 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 2.1.10

Combine $- 100$ e $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 100 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 2.1.11

Mova $x^{- \frac{5}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 100}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.1.12

Fatore $4$ de $- 100$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.13.1

Fatore $4$ de $4 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 (x^{\frac{5}{4}})}$

Etapa 2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 25}{x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$25 = 0$

Etapa 3.3

Como $25 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{25}{\sqrt[4]{x^{5}}}$

Etapa 5.2

Defina o denominador em $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[4]{x^{5}} = 0$

Etapa 5.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{x^{5}}}^{4} = 0^{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{4}}$ .

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 5.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{5} = 0^{4}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x^{5}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{5} < 0$

Etapa 5.5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[5]{x^{5}} < \sqrt[5]{0}$

Etapa 5.5.2

Simplifique a equação.

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Etapa 5.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[5]{0}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x < \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 5.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 6

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{5}{4}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 100 x^{- \frac{1}{4}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 7.2

A resposta final é $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{5}{4}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{25}{{(1)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{25}{1}$

Etapa 8.2.2

Divida $25$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 25$

Etapa 8.2.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f' (1) = - 25$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 25$ .

$- 25$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 25$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 10