Cálculo Exemplos

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.2

Fatore $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.3

Fatore $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Etapa 1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.4

Combine $4$ e $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.3

Fatore $4$ de $- 4 x + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.11.3.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.3.2

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.3.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.5

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.7

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 (x - 4) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x - 4) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4

Avalie $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $4$ e $4$ .

$\frac{16}{8^{2}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{64}$

Etapa 4.1.2.3

Cancele o fator comum de $16$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Fatore $16$ de $16$ .

$\frac{16 (1)}{64}$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Fatore $16$ de $64$ .

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{((- 4) + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{4 (- 4)}{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (- 4)}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(4, \frac{1}{4})$

Etapa 5