Cálculo Exemplos

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $3 t^{2} + 27$ por $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 27$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.7

Como $27$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $27$ em relação a $t$ é $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1

Some $6 t$ e $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.8

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine $4$ e $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.2.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.3.1

Fatore $12$ de $- 12 t^{2} + 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.3.1.1

Fatore $12$ de $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3.1.2

Fatore $12$ de $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3.1.3

Fatore $12$ de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3.3

Reordene $- t^{2}$ e $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.4.1

Fatore $3$ de $3 t^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.4.1.1

Fatore $3$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.4.1.2

Fatore $3$ de $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.4.1.3

Fatore $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Etapa 1.1.10.4.2

Aplique a regra do produto a $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.5

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.5.1

Fatore $3$ de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.5.2.1

Fatore $3$ de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 1.1.10.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 1.1.10.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $3 + t$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $3 + t$ como igual a $0$ .

$3 + t = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$t = - 3$

Etapa 2.3.3

Defina $3 - t$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $3 - t$ como igual a $0$ .

$3 - t = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $3 - t = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- t = - 3$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida cada termo em $- t = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- t = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$t = 3$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ verdadeiro.

$t = - 3, 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $t = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 3$ por $t$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Fatore $3$ de $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Fatore $3$ de $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Etapa 4.1.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $9$ e $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Etapa 4.1.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Etapa 4.1.2.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Etapa 4.1.2.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Etapa 4.1.2.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{9}$

Etapa 4.1.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{9}$

Etapa 4.2

Avalie em $t = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $t$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ e $3 {(3)}^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $3$ de $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Fatore $3$ de $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Etapa 4.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Etapa 4.2.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $9$ e $9$ .

$\frac{4}{18}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{9}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Etapa 5