Cálculo Exemplos

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 \sec (θ)$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sec (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Etapa 2.2

Substitua $\sec^{2} (θ)$ por $1 + \tan^{2} (θ)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Etapa 2.5

Multiplique $\tan (θ)$ por $\tan^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1

Mova $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\tan^{2} (θ)$ por $\tan (θ)$ .

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Etapa 2.5.2.1

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Etapa 2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Etapa 2.5.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Etapa 2.6

Reordene o polinômio.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Etapa 2.7

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.1

Simplifique $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

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Etapa 2.7.1.1

Fatore $2 \sec (θ) \tan (θ)$ de $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

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Etapa 2.7.1.1.1

Fatore $2 \sec (θ) \tan (θ)$ de $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Etapa 2.7.1.1.2

Fatore $2 \sec (θ) \tan (θ)$ de $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Etapa 2.7.1.1.3

Fatore $2 \sec (θ) \tan (θ)$ de $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Etapa 2.7.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Etapa 2.7.1.3

Multiplique $\sec (θ)$ por $\sec^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.1.3.1

Mova $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Etapa 2.7.1.3.2

Multiplique $\sec^{2} (θ)$ por $\sec (θ)$ .

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Etapa 2.7.1.3.2.1

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Etapa 2.7.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Etapa 2.7.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Etapa 2.8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Etapa 2.9

Defina $\sec^{3} (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 2.9.1

Defina $\sec^{3} (θ)$ como igual a $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Etapa 2.9.2

Resolva $\sec^{3} (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 2.9.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.9.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\sec (θ) = 0$

Etapa 2.9.2.3

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.10

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 2.10.1

Defina $\tan (θ)$ como igual a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Etapa 2.10.2

Resolva $\tan (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 2.10.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (0)$

Etapa 2.10.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.10.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 2.10.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + 0$

Etapa 2.10.2.4

Some $π$ e $0$ .

$θ = π$

Etapa 2.10.2.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 2.10.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.10.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.10.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.10.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.10.2.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.11

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ verdadeiro.

$θ = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.12

Consolide as respostas.

$θ = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (θ)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Avalie $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ em cada valor $θ$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $θ = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $θ$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \tan (0)$

Etapa 4.1.2.1.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $θ = π$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $π$ por $θ$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Etapa 4.2.2.1.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- 2 - \tan (0)$

Etapa 4.2.2.1.5

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- 2 - 0$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5