Cálculo Exemplos

$\frac{x}{6} \tan^{2} (\frac{x}{6})$

Etapa 1

Combine $\frac{x}{6}$ e $\tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\int \frac{x \tan^{2} (\frac{x}{6})}{6} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int x \tan^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - \int - x + 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x)$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (\int - x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- \int x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Etapa 7

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Etapa 8

Deixe $u = \frac{1}{6} x$ . Depois, $d u = \frac{1}{6} d x$ , então, $6 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = \frac{1}{6} x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x]$

Etapa 8.1.2

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} x$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Etapa 9.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) (1 \cdot 6) d u))$

Etapa 9.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \cdot 6 d u))$

Etapa 9.5

Mova $6$ para a esquerda de $\tan (u)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int 6 \tan (u) d u))$

Etapa 10

Como $6$ é constante com relação a $u$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (6 \int \tan (u) d u)))$

Etapa 11

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 \int \tan (u) d u))$

Etapa 12

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 (\ln (| \sec (u) |) + C)))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

$\frac{1}{6} (- x^{2} + 6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2.2

Combine $- x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- 2 x^{2} + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2.5

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 13.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 15.3.1.1

Fatore $6$ de $6 x \tan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3.2

Multiplique $\frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Etapa 15.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{6 \cdot 2} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Etapa 15.3.3

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 15.3.3.1

Fatore $6$ de $- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Etapa 15.3.3.2

Cancele o fator comum.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Etapa 15.3.3.3

Reescreva a expressão.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} - 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |) + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$x \tan (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{12} x^{2} - 6 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |) + C$