Cálculo Exemplos

$\frac{x}{3^{x}}$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $3^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$\int x {(3^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\int x \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 1.2.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\int x \cdot 3^{- x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = 3^{- x}$ .

$x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $3^{- x}$ e $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Etapa 4

Como $- \frac{1}{\ln (3)}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{\ln (3)}$ para fora da integral.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - (- \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + 1 (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{\ln (3)}$ por $1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int - 3^{u} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int 3^{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $3^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Etapa 9

Reescreva $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ como $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{- x}}{\ln^{2} (3)} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{\ln (3)} x \cdot 3^{- x} - \frac{1}{\ln^{2} (3)} \cdot 3^{- x} + C$