Cálculo Exemplos

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Etapa 3

Como $- 3$ é constante com relação a $t$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $t$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Etapa 4.2

Combine $t$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Etapa 4.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Etapa 5

Deixe $u = - \frac{t}{3}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{3} d t$ , então, $- 3 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = - \frac{t}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Etapa 5.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{3}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Etapa 6.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Etapa 6.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Etapa 7

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Etapa 8

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Etapa 10

Reescreva $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ como $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Etapa 12.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Etapa 12.3

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$