Cálculo Exemplos

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ como ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 2

Divida a integral em duas integrais, em que $c$ é um valor entre $- k$ e $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ com relação a $k$ é $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 4

Troque os limites de integração.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 5

Calcule a derivada de $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ com relação a $k$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $- k$ em relação a $k$ é $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 7

Calcule a derivada de $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ com relação a $k$ usando o teorema fundamental do cálculo.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Fatore $- 1$ de $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra do produto a $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $k^{2}$ por $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3

Subtraia $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.4.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.5.1

Cancele o fator comum.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.5.2

Reescreva a expressão.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.6

Avalie o expoente.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.7

Multiplique por zero.

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Etapa 8.7.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.7.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8

Subtraia $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 8.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.10.1

Cancele o fator comum.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 8.10.2

Reescreva a expressão.

$0 + 0^{1}$

Etapa 8.11

Avalie o expoente.

$0 + 0$

Etapa 8.12

Some $0$ e $0$ .

$0$