Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x - 10 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 e^{- x}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.1.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 1.1.1.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Etapa 1.1.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 e^{- x} + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 e^{- x}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.8

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $- 10 e^{- x}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 1.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.4

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.5

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O gráfico tem concavidade para baixo porque a segunda derivada é negativa.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 4