Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.6

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

Etapa 1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Etapa 1.10.2

Multiplique $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.4

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 2.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.11.2

Multiplique $\frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.6

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

Etapa 4.1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Etapa 4.1.10.2

Multiplique $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.2.2

Divida ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{9 {((1) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{4 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 10.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 10.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{3}$

Etapa 10.2.2.1.5

Avalie o expoente.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0) = - \frac{4}{3}$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{4 {((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 10.3.2.2

Mova $3^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (4) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.2.3.1

Multiplique $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 10.3.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (4) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.4

A resposta final é $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11