Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ como ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 2, 1$

Etapa 2.4.1.2

Remova os parênteses.

$y - 2, 1$

Etapa 2.4.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 2$

Etapa 2.4.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ por $y - 2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ por $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Etapa 2.4.2.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Etapa 2.4.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Reescreva a equação como $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Etapa 2.4.3.2

Some $2 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Etapa 2.4.3.3

Divida cada termo em $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1

Divida cada termo em $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3.3.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{x - 2}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{x - 2}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.4.6.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6

Reescreva ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.6.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.7

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.7.1

Multiplique por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.7.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Etapa 4.2.3.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Etapa 4.3.4

Some $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 4.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$