Cálculo Exemplos

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ como ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 2.3.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 2.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 2) (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x - 2$ e $g (x) = \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) (12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1

Mova $12$ para a esquerda de $2 x - 2$ .

$f'' (x) = - (12 \cdot (2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + 0)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.5.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.6

Eleve $2 x - 2$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.7

Eleve $2 x - 2$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{1 + 1} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Etapa 3.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Etapa 3.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Etapa 3.14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Etapa 3.15

Combine frações.

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Etapa 3.15.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot 2)$

Etapa 3.15.2

Combine $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12 \cdot 2}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.15.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.16

Para escrever $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.17

Combine $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ e $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.19

Multiplique ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ por ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.19.1

Mova ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.19.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20

Simplifique.

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Etapa 3.20.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.20.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.20.2.1.1

Reescreva ${(2 x - 2)}^{2}$ como $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.2

Expanda $(2 x - 2) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.20.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.20.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.20.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.20.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 8 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(- 24 (4 x^{2}) - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.5.1

Multiplique $4$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.5.2

Multiplique $- 8$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.5.3

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.6

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 3.20.2.1.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.7

Multiplique $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ por $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 x^{2} + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.1

Fatore $96$ de $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.1.1

Fatore $96$ de $- 96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.1.2

Fatore $96$ de $192 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.1.3

Fatore $96$ de $- 96$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.1.4

Fatore $96$ de $96 (- x^{2}) + 96 (2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.1.5

Fatore $96$ de $96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.1.2

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.1.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x^{2} + x) + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x + 1) (x - 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.1.8.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.5

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.6

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.8.3.9

Multiplique $96$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.2

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24 \cdot \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.3

Combine $24$ e $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.1

Fatore $24$ de $- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 (x - 3) (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.1.1

Fatore $24$ de $- 96 {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.1.2

Fatore $24$ de $24 (x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.1.3

Fatore $24$ de $24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.2

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 ((x - 1) (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.3

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.6.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.6.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.7

Expanda $(x - 3) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x (x + 1) - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.5.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.8.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.8.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.8.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.9

Some $- 4 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 8 x - 4 - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.10

Subtraia $2 x$ de $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 4 - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.5.11

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.7

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) - (- 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.9

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.10

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 6 x) - 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.11

Reescreva $- (3 x^{2} - 6 x + 7)$ como $- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.20.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.3.1

Reescreva $\frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = - (- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Etapa 3.20.3.2

Multiplique $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ por $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} ((x - 3) (x + 1))}$

Etapa 3.20.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)})$

Etapa 3.20.3.4

Multiplique $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 3.20.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Etapa 3.20.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.5.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 3.20.5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{((x - 3) (x + 1))}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Etapa 3.20.5.2

Aplique a regra do produto a $(x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Etapa 3.20.5.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.5.3.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} ((x + 1) {(x + 1)}^{2}) (x - 3)}$

Etapa 3.20.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 2} (x - 3)}$

Etapa 3.20.5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3} (x - 3)}$

Etapa 3.20.5.3.4

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.20.5.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.20.5.3.6

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ como ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Etapa 5.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 5.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 5.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 5.1.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 5.1.3.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 5.1.3.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Etapa 5.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1.1

Combine $- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 5.1.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Etapa 5.1.5.2

Reordene os fatores de $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = - (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina $2 x - 2$ como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $2 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Etapa 6.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 6.4

Defina $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ .

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$12 = 0$

Etapa 6.4.2.2

Como $12 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 7.2.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Etapa 7.2.1.2

Aplique a regra do produto a $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.3

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.3.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.2.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.2.4

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.4.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 7.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{24 (3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 7)}{{((1) - 3)}^{3} {((1) + 1)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{24 (3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.4

Subtraia $6$ de $3$ .

$\frac{24 (- 3 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.5

Some $- 3$ e $7$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 2^{3}}$

Etapa 10.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 8}$

Etapa 10.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $24$ por $4$ .

$\frac{96}{- 8 \cdot 8}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$\frac{96}{- 64}$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum de $96$ e $- 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.1

Fatore $32$ de $96$ .

$\frac{32 (3)}{- 64}$

Etapa 10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.2.1

Fatore $32$ de $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Etapa 10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Etapa 10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{- 2}$

Etapa 10.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 11

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{12}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 \cdot 1 - 3}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 - 3}$

Etapa 12.2.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 1 - 3}$

Etapa 12.2.1.4

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 4}$

Etapa 12.2.2

Divida $12$ por $- 4$ .

$f (1) = - 3$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

$(1, - 3)$ é um máximo local

Etapa 14