Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Etapa 1

Escreva $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ como uma função.

$f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.1.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

Etapa 2.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $2 x - y + 10$ e $0$ .

$2 x - y + 10 + 0$

Etapa 2.5.3

Some $2 x - y + 10$ e $0$ .

$2 x - y + 10$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - y + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 3.3.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Etapa 3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - y + 10 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.1.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x + 0 - y + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - y + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 - y + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$2 x + 0 - y + 10 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 - y + 10 + 0 + 0$

Etapa 5.1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x - y + 10 + 0 + 0$

Etapa 5.1.5.2

Some $2 x - y + 10$ e $0$ .

$2 x - y + 10 + 0$

Etapa 5.1.5.3

Some $2 x - y + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - y + 10$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - y + 10$ .

$2 x - y + 10$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - y + 10 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - y + 10 = 0$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$2 x + 10 = y$

Etapa 6.2.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2 x = y - 10$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $2 x = y - 10$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $2 x = y - 10$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y}{2} + \frac{- 10}{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Divida $- 10$ por $2$ .

$x = \frac{y}{2} - 5$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{y}{2} - 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{y}{2} - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2$

Etapa 10

$x = \frac{y}{2} - 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{y}{2} - 5$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{y}{2} - 5$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{y}{2} - 5$ na expressão.

$f (\frac{y}{2} - 5) = {(\frac{y}{2} - 5)}^{2} + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${(\frac{y}{2} - 5)}^{2}$ como $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = (\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.2

Expanda $(\frac{y}{2} - 5) (\frac{y}{2} - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot (\frac{y}{2} - 5) - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 (\frac{y}{2} - 5) + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.3.1.1

Multiplique $\frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1.1.1

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.1.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.1.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot - 5 - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.2

Combine $\frac{y}{2}$ e $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot - 5}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 \cdot y}{2} - 5 \frac{y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.5

Combine $- 5$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} - 5 \cdot - 5 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.3.2

Subtraia $\frac{5 y}{2}$ de $- \frac{5 y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 2 \frac{5 y}{2} + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (- 1) (\frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{5 y}{2}) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 1 (5 y) + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - (\frac{y}{2} - 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} + (- \frac{y}{2} + 5) \cdot y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y}{2} \cdot y + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.8

Multiplique $- \frac{y}{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Combine $y$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.8.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.8.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y \cdot y}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2} - 5) - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 10 (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.10.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 (5) (\frac{y}{2}) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.10.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 2 \cdot (5 (\frac{y}{2})) + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.10.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y + 10 \cdot - 5 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.1.11

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.2

Combine os termos opostos em $\frac{y^{2}}{4} - 5 y + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y + 5 y - 50 - 2 y + 5$ .

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Etapa 11.2.2.1

Some $- 5 y$ e $5 y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 0 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.2.2

Some $\frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + 25 + y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.3

Para escrever $y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.4

Combine $y^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.6

Some $y^{2}$ e $y^{2} \cdot 4$ .

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Etapa 11.2.6.1

Reordene $y^{2}$ e $4$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} + 4 \cdot y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.6.2

Some $y^{2}$ e $4 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} + 25 - \frac{y^{2}}{2} + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.7

Para escrever $- \frac{y^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.8.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{5 y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.10.1.1

Fatore $y^{2}$ de $5 y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 11.2.10.1.1.1

Fatore $y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 - y^{2} \cdot 2}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10.1.1.2

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2} \cdot 2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10.1.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 5 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 1 \cdot 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} (5 - 2)}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10.1.3

Subtraia $2$ de $5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{y^{2} \cdot 3}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.10.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 25 + 5 y - 50 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.11

Simplifique somando os termos.

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Etapa 11.2.11.1

Subtraia $50$ de $25$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 5 y - 25 - 2 y + 5$

Etapa 11.2.11.2

Subtraia $2 y$ de $5 y$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 25 + 5$

Etapa 11.2.11.3

Some $- 25$ e $5$ .

$f (\frac{y}{2} - 5) = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

Etapa 11.2.12

A resposta final é $\frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$ .

$y = \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} + y^{2} - x y + 10 x - 2 y + 5$ .

$(\frac{y}{2} - 5, \frac{3 y^{2}}{4} + 3 y - 20)$ é um mínimo local

Etapa 13