Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$2 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [256 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256 x$ em relação a $x$ é $256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $256$ por $1$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $2 x^{3} - 96 x + 256$ e $0$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 96 x + 256$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [256]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 + \frac{d}{d x} (256)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x^{2} - 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 96$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$2 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [256 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [256 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256 x$ em relação a $x$ é $256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $256$ por $1$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 + 0$

Etapa 5.1.5.2

Some $2 x^{3} - 96 x + 256$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 96 x + 256$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} - 96 x + 256$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 96 x + 256 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 96 x + 256$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 96 x + 256 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $2$ de $- 96 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 48 x) + 256 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $2$ de $256$ .

$2 x^{3} + 2 (- 48 x) + 2 \cdot 128 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 48 x)$ .

$2 (x^{3} - 48 x) + 2 \cdot 128 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 48 x) + 2 \cdot 128$ .

$2 (x^{3} - 48 x + 128) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{3} - 48 x + 128$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $4$ no polinômio.

$4^{3} - 48 \cdot 4 + 128$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 48 \cdot 4 + 128$

Etapa 6.2.2.3.3

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$64 - 192 + 128$

Etapa 6.2.2.3.4

Subtraia $192$ de $64$ .

$- 128 + 128$

Etapa 6.2.2.3.5

Some $- 128$ e $128$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 48 x + 128}{x - 4}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $x^{3} - 48 x + 128$ por $x - 4$ .

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Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$48 x$

$128$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 32 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							-	$32 x$	+	$128$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 32 x + 128$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							+	$32 x$	-	$128$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$32$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	+	$128$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	+	$128$
							+	$32 x$	-	$128$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 4 x - 32$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $x^{3} - 48 x + 128$ como um conjunto de fatores.

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x - 32)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x^{2} + 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.3.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $4$ .

$- 4, 8$

Etapa 6.2.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 4) ((x - 4) (x + 8))) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

Etapa 6.2.4

Fatore.

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Etapa 6.2.4.1

Combine como fatores.

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Etapa 6.2.4.1.1

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

Etapa 6.2.4.1.2

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$2 ((x - 4) (x - 4) (x + 8)) = 0$

Etapa 6.2.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({(x - 4)}^{1 + 1} (x + 8)) = 0$

Etapa 6.2.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$2 ({(x - 4)}^{2} (x + 8)) = 0$

Etapa 6.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 {(x - 4)}^{2} (x + 8) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 6.4

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.4.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.5

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 {(x - 4)}^{2} (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 8$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4, - 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 {(4)}^{2} - 96$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$6 \cdot 16 - 96$

Etapa 10.1.2

Multiplique $6$ por $16$ .

$96 - 96$

Etapa 10.2

Subtraia $96$ de $96$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 10$ , do intervalo $(- \infty, - 8)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 96 x + 256$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 10$ na expressão.

$f' (- 10) = 2 {(- 10)}^{3} - 96 \cdot - 10 + 256$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$f' (- 10) = 2 \cdot - 1000 - 96 \cdot - 10 + 256$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1000$ .

$f' (- 10) = - 2000 - 96 \cdot - 10 + 256$

Etapa 11.2.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $- 10$ .

$f' (- 10) = - 2000 + 960 + 256$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.2.2.2.1

Some $- 2000$ e $960$ .

$f' (- 10) = - 1040 + 256$

Etapa 11.2.2.2.2

Some $- 1040$ e $256$ .

$f' (- 10) = - 784$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $- 784$ .

$- 784$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 8, 4)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 96 x + 256$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 2 {(0)}^{3} - 96 \cdot 0 + 256$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 2 \cdot 0 - 96 \cdot 0 + 256$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 96 \cdot 0 + 256$

Etapa 11.3.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 256$

Etapa 11.3.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 256$

Etapa 11.3.2.2.2

Some $0$ e $256$ .

$f' (0) = 256$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $256$ .

$256$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(4, \infty)$ na primeira derivada $2 x^{3} - 96 x + 256$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 2 {(6)}^{3} - 96 \cdot 6 + 256$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = 2 \cdot 216 - 96 \cdot 6 + 256$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $216$ .

$f' (6) = 432 - 96 \cdot 6 + 256$

Etapa 11.4.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $6$ .

$f' (6) = 432 - 576 + 256$

Etapa 11.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.4.2.2.1

Subtraia $576$ de $432$ .

$f' (6) = - 144 + 256$

Etapa 11.4.2.2.2

Some $- 144$ e $256$ .

$f' (6) = 112$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $112$ .

$112$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 8$ , então $x = - 8$ é um mínimo local.

$x = - 8$ é um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 4$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 48 x^{2} + 256 x - 2$ .

$x = - 8$ é um mínimo local

Etapa 12