Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.3.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.2

Some $- 32 x^{5}$ e $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Reordene os termos.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.5.1

Fatore $16 x^{3}$ de $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

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Etapa 2.6.5.1.1

Fatore $16 x^{3}$ de $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Fatore $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Fatore $16 x^{3}$ de $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.6.1

Fatore $4$ de $- 8 x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.6.6.1.1

Fatore $4$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.6.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Etapa 2.6.6.1.3

Fatore $4$ de $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Etapa 2.6.6.2

Aplique a regra do produto a $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.6.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.7

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 2.6.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} (1 + x)$ e $g (x) = 1 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (1 - x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3} (1 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- 1 \cdot (x^{3} (1 + x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (1 + x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.5

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) (3 x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6.7

Mova $3$ para a esquerda de $1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot ((1 + x) x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 u \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.2

Fatore $- 2 x^{2} + 1$ de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

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Etapa 3.8.2.1

Fatore $- 2 x^{2} + 1$ de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.2.2

Fatore $- 2 x^{2} + 1$ de $- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.8.2.3

Fatore $- 2 x^{2} + 1$ de $(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Fatore $- 2 x^{2} + 1$ de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{(- 2 x^{2} + 1) {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.9.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + 0)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.15.1

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.15.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{3} (1 + x) (1 - x) x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 (x \cdot x^{3}) (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{1 + 3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18

Some $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19

Simplifique.

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Etapa 3.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + (3 \cdot 1 + 3 x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.19.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{1 + 3} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.3.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.4

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.5

Expanda $(1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3} + 3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.1

Multiplique $4 x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.2

Multiplique $3 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.4.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.7.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.1.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 3 x^{3}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.1.6.2

Subtraia $3 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.2

Combine os termos opostos em $- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.2.1

Some $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 0 + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.2.2

Some $- x^{4}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.3

Subtraia $4 x^{4}$ de $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.4

Expanda $(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{2} x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.5.1.2.1

Mova $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 (x^{4} x^{2})) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{4 + 2}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.2.3

Some $4$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{6}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.5.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.5.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.6

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.7

Multiplique $- 5 x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.1.8

Multiplique $3 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.5.2

Subtraia $5 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.6.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.6.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.6.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.6.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.6.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{1 + 4}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.6.2.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.7

Expanda $(8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} (1 - x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{4} x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 4}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.3.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{5} x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.7

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1.7.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.5.1.8.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 5})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.7.3

Some $1$ e $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{6})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.1.8

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.2

Some $- 8 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 0 - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.1.8.3

Some $8 x^{4}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.2

Subtraia $8 x^{6}$ de $10 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.5.3

Some $- 11 x^{4}$ e $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.6

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.6.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.6.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.6.3

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.6.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.19.6.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2} + 3)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.2.9

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.3.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3.2

Some $- 32 x^{5}$ e $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4

Reordene os termos.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.5.1

Fatore $16 x^{3}$ de $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.5.1.1

Fatore $16 x^{3}$ de $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.2

Fatore $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.3

Fatore $16 x^{3}$ de $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.6.1

Fatore $4$ de $- 8 x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.6.1.1

Fatore $4$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.6.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Etapa 5.1.6.6.1.3

Fatore $4$ de $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Etapa 5.1.6.6.2

Aplique a regra do produto a $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.6.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.7

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.7.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 6.3.2.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.3.3

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 6.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.3.4

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 6.3.4.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 6.3.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 6.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

${(- (2 x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.1.1.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Etapa 7.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- (2 x^{2} - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Etapa 7.2.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.2.3

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 7.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 1$

Etapa 7.2.4.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.2.4.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.4.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.2.4.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}, x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{{(0)}^{2} (2 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 3)}{{(- 2 {(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0^{2} (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.6

Some $0$ e $3$ .

$\frac{0^{2} \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0 \cdot 3}{1^{3}}$

Etapa 10.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0 \cdot 3}{1}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 10.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Remova os parênteses.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 + 4)}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2.4

Some $1$ e $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot - 3 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.5.1

Multiplique $- 64$ por $- 3$ .

$f' (- 4) = \frac{192 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.2.5.2

Multiplique $192$ por $5$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.3.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.3.3

Some $- 32$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 31)}^{2}}$

Etapa 11.2.2.3.4

Eleve $- 31$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{961}$

Etapa 11.2.2.4

A resposta final é $\frac{960}{961}$ .

$\frac{960}{961}$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $- 0.85$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.85$ na expressão.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Remova os parênteses.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.2.2

Subtraia $0.85$ de $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} \cdot (0.15 (1 + 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.2.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.3.1

Multiplique ${(- 0.85)}^{3}$ por $0.15$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.09211875 (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.2.3.2

Multiplique $- 0.09211875$ por $1 + 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.3.1

Eleve $- 0.85$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 \cdot 0.7225 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $0.7225$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 1.445 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.3.3

Some $- 1.445$ e $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 0.445)}^{2}}$

Etapa 11.3.2.3.4

Eleve $- 0.445$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{0.198025}$

Etapa 11.3.2.4

Divida $- 0.17041968$ por $0.198025$ .

$f' (- 0.85) = - 0.86059683$

Etapa 11.3.2.5

A resposta final é $- 0.86059683$ .

$- 0.86059683$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $0.35$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $0.35$ na expressão.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Remova os parênteses.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} (1 + 0.35) (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.2.2

Some $1$ e $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} \cdot (1.35 (1 - 0.35))}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.2.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.2.3.1

Multiplique ${0.35}^{3}$ por $1.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.05788125 (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.2.3.2

Multiplique $0.05788125$ por $1 - 0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.3.1

Eleve $0.35$ à potência de $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot 0.1225 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $0.1225$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 0.245 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.4.2.3.3

Some $- 0.245$ e $1$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{0.755}^{2}}$

Etapa 11.4.2.3.4

Eleve $0.755$ à potência de $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{0.570025}$

Etapa 11.4.2.4

Divida $0.03762281$ por $0.570025$ .

$f' (0.35) = 0.06600203$

Etapa 11.4.2.5

A resposta final é $0.06600203$ .

$0.06600203$

Etapa 11.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.5.2.1

Remova os parênteses.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.5.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} (1 + 4) (1 - 4)}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2.2

Some $1$ e $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2.4

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot 5 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2.5

Combine expoentes.

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Etapa 11.5.2.2.5.1

Multiplique $64$ por $5$ .

$f' (4) = \frac{320 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.2.5.2

Multiplique $320$ por $- 3$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.5.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.3.2

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.3.3

Some $- 32$ e $1$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 31)}^{2}}$

Etapa 11.5.2.3.4

Eleve $- 31$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{961}$

Etapa 11.5.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (4) = - \frac{960}{961}$

Etapa 11.5.2.5

A resposta final é $- \frac{960}{961}$ .

$- \frac{960}{961}$

Etapa 11.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 11.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 11.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 12