Cálculo Exemplos

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 1

Escreva $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ como uma função.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.5

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.6

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.9

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.10

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Etapa 5

Fatore $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 \sin (θ)$ de $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Etapa 5.3

Fatore $2 \sin (θ)$ de $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Etapa 7

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 7.1

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\sin (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 7.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - 0$

Etapa 7.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = π$

Etapa 7.2.5

A solução para a equação $θ = 0$ .

$θ = 0, π$

Etapa 8

Defina $- \cos (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 8.1

Defina $- \cos (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $- \cos (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \cos (θ) = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 8.2.2.2.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Etapa 8.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Etapa 8.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$θ = π$

Etapa 8.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π - π$

Etapa 8.2.6

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Etapa 8.2.7

A solução para a equação $θ = π$ .

$θ = π, π$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 0, π$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $θ = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Etapa 11.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Etapa 11.1.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Etapa 11.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.1

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2 - 2$

Etapa 11.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Etapa 12

$θ = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$θ = 0$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $θ = 0$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $θ$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Etapa 13.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Etapa 13.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (0) = 2 + 1$

Etapa 13.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (0) = 3$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $θ = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.9

Multiplique $2$ por $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Etapa 15.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Etapa 15.1.11

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.1.12

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Etapa 15.1.12.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Etapa 15.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 15.2.1

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2 + 2$

Etapa 15.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 16

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 16.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $θ$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 16.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 16.2.1

Substitua a variável $θ$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Etapa 16.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.2.1.1

Avalie $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Etapa 16.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Etapa 16.2.2.1.3

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Etapa 16.2.2.1.4

Multiplique $0.83229367$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Etapa 16.2.2.1.5

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Etapa 16.2.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 0.75680249$ e $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Etapa 16.2.2.3

A resposta final é $1.06179235$ .

$1.06179235$

Etapa 16.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, π)$ na primeira derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 16.3.1

Substitua a variável $θ$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Etapa 16.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.3.2.1.1

Avalie $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Etapa 16.3.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Etapa 16.3.2.1.3

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Etapa 16.3.2.1.4

Multiplique $0.83229367$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Etapa 16.3.2.1.5

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Etapa 16.3.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Etapa 16.3.2.2

Subtraia $1.81859485$ de $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Etapa 16.3.2.3

A resposta final é $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Etapa 16.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 16.4.1

Substitua a variável $θ$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Etapa 16.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.4.2.1.1

Avalie $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Etapa 16.4.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Etapa 16.4.2.1.3

Avalie $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Etapa 16.4.2.1.4

Multiplique $- 1.92034057$ por $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Etapa 16.4.2.1.5

Avalie $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Etapa 16.4.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Etapa 16.4.2.2

Some $0.53657291$ e $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Etapa 16.4.2.3

A resposta final é $1.09540391$ .

$1.09540391$

Etapa 16.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $θ = 0$ , então $θ = 0$ é um máximo local.

$θ = 0$ é um máximo local

Etapa 16.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $θ = π$ , então $θ = π$ é um mínimo local.

$θ = π$ é um mínimo local

Etapa 16.7

Esses são os extremos locais para $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ .

$θ = 0$ é um máximo local

$θ = π$ é um mínimo local

$θ = 0$ é um máximo local

$θ = π$ é um mínimo local

Etapa 17