Cálculo Exemplos

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = 500 t$ e $g (t) = 2 t^{2} + 9$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $500 t$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique $500$ por $1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $4 t$ e $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $500$ por $2$ .

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $9$ por $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Mova $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.5.2

Multiplique $- 500$ por $4$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2000 t^{2}$ de $1000 t^{2}$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.3

Fatore $500$ de $- 1000 t^{2} + 4500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $500$ de $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Fatore $500$ de $4500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $500$ de $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.4

Fatore $- 1$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.5

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.7

Reescreva $- (2 t^{2} - 9)$ como $- 1 (2 t^{2} - 9)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$