Cálculo Exemplos

$\frac{c x + a}{a x + b}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ é $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , em que $f (c) = c x + a$ e $g (c) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d c} [c x + a] - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c x + a$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d c} [c x]$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $c x$ em relação a $c$ é $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x + b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(a x + b) (x + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $a$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $a$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{(a x + b) (x + 0) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x + b$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b]$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $a x$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $a x$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $b$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $b$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 4.6

Some $0$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x + (- (c x) - a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- c x \cdot 0$ .

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Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 c x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $0$ por $c$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.3

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $- a \cdot 0$ .

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Etapa 5.4.1.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0 a}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.2

Multiplique $0$ por $a$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Combine os termos opostos em $a x^{2} + b x + 0 + 0$ .

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Etapa 5.4.2.1

Some $a x^{2} + b x$ e $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.4.2.2

Some $a x^{2} + b x$ e $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x}{{(a x + b)}^{2}}$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} a + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $x$ de $x^{2} a + b x$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $x^{2} a$ .

$\frac{x (x a) + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Fatore $x$ de $b x$ .

$\frac{x (x a) + x b}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Fatore $x$ de $x (x a) + x b$ .

$\frac{x (x a + b)}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $x a + b$ e ${(b + a x)}^{2}$ .

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Etapa 5.7.1

Reordene os termos.

$\frac{x (b + a x)}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.7.2

Fatore $b + a x$ de $x (b + a x)$ .

$\frac{(b + a x) x}{{(b + a x)}^{2}}$

Etapa 5.7.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.3.1

Fatore $b + a x$ de ${(b + a x)}^{2}$ .

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Etapa 5.7.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Etapa 5.7.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{b + a x}$