Cálculo Exemplos

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ é $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , em que $f (v) = v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ e $g (v) = v$ .

$\frac{v \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v \sqrt{v}] - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v^{3} - 2 v \sqrt{v}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

$\frac{v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d v} [- 2 v \sqrt{v}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{v}$ como $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $v$ por $v^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1

Mova $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v)]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + 1}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ em relação a $v$ é $- 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}]) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}})) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.9

Combine $\frac{3}{2}$ e $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 2 \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.10

Combine $- 2$ e $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 2 (3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 6 v^{\frac{1}{2}}}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.12

Fatore $2$ de $- 6 v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{2 (- 3 v^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{v (3 v^{2} + \frac{- 3 v^{\frac{1}{2}}}{1}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 3.13.4

Divida $- 3 v^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \frac{d}{d v} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{v (3 v^{2} - 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - (v^{3} - 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) + (- v^{3} - (- 2 v \sqrt{v})) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{v (3 v^{2}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 v \cdot v^{2} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $v$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.2.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{3 (v^{2} v) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $v^{2}$ por $v$ .

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Etapa 5.4.1.2.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (v^{2} v^{1}) + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 v^{2 + 1} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 v^{3} + v (- 3 v^{\frac{1}{2}}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 v^{3} - 3 v \cdot v^{\frac{1}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $v$ por $v^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.4.1

Mova $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

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Etapa 5.4.1.4.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 (v^{\frac{1}{2}} v^{1}) - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + 1} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{1 + 2}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} \cdot 1 - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} - (- 2 v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 (v \sqrt{v}) \cdot 1}{v^{2}}$

Etapa 5.4.1.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} - v^{3} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $v^{3}$ de $3 v^{3}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \sqrt{v}}{v^{2}}$

Etapa 5.5

Combine os termos.

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Etapa 5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{v}$ como $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $v$ por $v^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.2.1

Mova $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2.2

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $v$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 v^{3} - 3 v^{\frac{3}{2}} + 2 v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.3

Some $- 3 v^{\frac{3}{2}}$ e $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.4

Fatore $v^{\frac{3}{2}}$ de $2 v^{3} - v^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Fatore $v^{\frac{3}{2}}$ de $2 v^{3}$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - v^{\frac{3}{2}}}{v^{2}}$

Etapa 5.5.4.2

Fatore $v^{\frac{3}{2}}$ de $- v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{v^{2}}$

Etapa 5.5.4.3

Fatore $v^{\frac{3}{2}}$ de $v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}}) + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{v^{\frac{3}{2}} (2 v^{\frac{3}{2}} - 1)}{v^{2}}$

Etapa 5.5.5

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2} v^{- \frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.6

Multiplique $v^{2}$ por $v^{- \frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 - \frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.6.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.6.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Etapa 5.5.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Etapa 5.5.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Etapa 5.5.6.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{2 v^{\frac{3}{2}} - 1}{v^{\frac{1}{2}}}$