Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{t^{2} - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 1$ e $g (t) = t^{2} - 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{2} t - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{1 + 2} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.5.1

Mova $t$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos opostos em $2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t$ .

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t + 0 - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Some $- 2 t$ e $0$ .

$\frac{- 2 t - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $2 t$ de $- 2 t$ .

$\frac{- 4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 1$ .

$- \frac{4 t}{{((t + 1) (t - 1))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Aplique a regra do produto a $(t + 1) (t - 1)$ .

$- \frac{4 t}{{(t + 1)}^{2} {(t - 1)}^{2}}$