Cálculo Exemplos

$y = \frac{t^{2} + 4}{t^{4} - 3 t^{2} + 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 4$ e $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 5$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4] - (t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 5]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 5]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 5]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t + 0) - (t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 5]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2.4

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 5]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} - 3 t^{2} + 5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 3 t^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $4 t^{3} - 6 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 5) (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} (2 t) - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) - (t^{2} + 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} (2 t) - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{4} t - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t^{4}$ .

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{1 + 4} - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 3 t^{2} (2 t) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{5} - 3 \cdot 2 t^{2} t + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.4.1

Mova $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 3 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 3 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{5} - 3 \cdot 2 t^{1 + 2} + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 3 \cdot 2 t^{3} + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 5 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t + (- t^{2} - 1 \cdot 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t + (- t^{2} - 4) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8

Expanda $(- t^{2} - 4) (4 t^{3} - 6 t)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 4 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.9.1.2.1

Mova $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.5

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.9.1.5.1

Mova $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.5.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.9.1.5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 (4 t^{3}) - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.7

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 16 t^{3} - 4 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.1.8

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 16 t^{3} + 24 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.9.2

Subtraia $16 t^{3}$ de $6 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 4 t^{5} - 10 t^{3} + 24 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $4 t^{5}$ de $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 10 t - 10 t^{3} + 24 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $10 t^{3}$ de $- 6 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 16 t^{3} + 10 t + 24 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Some $10 t$ e $24 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 16 t^{3} + 34 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4

Fatore $2 t$ de $- 2 t^{5} - 16 t^{3} + 34 t$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2 t$ de $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 16 t^{3} + 34 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2 t$ de $- 16 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 34 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2 t$ de $34 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t (17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.4

Fatore $2 t$ de $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 8 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 8 t^{2}) + 2 t (17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.5

Fatore $2 t$ de $2 t (- t^{4} - 8 t^{2}) + 2 t (17)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 8 t^{2} + 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- t^{4}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 8 t^{2} + 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (8 t^{2}) + 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- (t^{4}) - (8 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 8 t^{2}) + 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.8

Reescreva $17$ como $- 1 (- 17)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 8 t^{2}) - 1 (- 17))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (t^{4} + 8 t^{2}) - 1 (- 17)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 8 t^{2} - 17))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.10

Reescreva $- (t^{4} + 8 t^{2} - 17)$ como $- 1 (t^{4} + 8 t^{2} - 17)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 8 t^{2} - 17))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 8 t^{2} - 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 5.12

Reordene os fatores em $- \frac{(2 t) (t^{4} + 8 t^{2} - 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{2 t (t^{4} + 8 t^{2} - 17)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 5)}^{2}}$