Cálculo Exemplos

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ é $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , em que $f (v) = 2 t$ e $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1

Como $2 t$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2 t$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva ${(t + 1)}^{2}$ como $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Expanda $(t + 1) (t + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $t$ e $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Como $t^{2} + 2 t + 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $t^{2} + 2 t + 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva ${(t + 1)}^{2}$ como $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.2

Expanda $(t + 1) (t + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3.1.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3.1.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3.2

Some $t$ e $t$ .

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.4

Multiplique $t^{2} + 2 t + 1$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.6

Multiplique $- 2 t \cdot 0$ .

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Etapa 6.1.1.6.1

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.6.2

Multiplique $0$ por $t$ .

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

Etapa 6.3

Divida $0$ por ${(t + 1)}^{4}$ .

$0$