Cálculo Exemplos

$\frac{(\tan (x) - 1)}{\sec (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \tan (x) - 1$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Some $\sec^{2} (x)$ e $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.2.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $\sec (x) \tan (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.2

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.2.2

Fatore $\sec (x)$ de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.2.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.2.4

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.2.5

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.3.5

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.4

Combine os termos.

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Etapa 6.4.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.4.1.2

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.4.1.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Etapa 6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$