Cálculo Exemplos

$y = \frac{{(x - 6)}^{9}}{{(x - 5)}^{6}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 6)}^{9}$ e $g (x) = {(x - 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{9}] - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + 0)) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \cdot 1) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 5.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Fatore ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8} - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

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Etapa 6.1.1.1

Fatore ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de $- {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x \cdot 9 - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.3.2

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 45 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.3.5

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $6 x$ de $9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 45 + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.5

Some $- 45$ e $36$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.6

Fatore $3$ de $3 x - 9$ .

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Etapa 6.1.6.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x) - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.6.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x + 3 \cdot - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.1.6.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x - 3))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} \cdot 3 (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{3 \cdot ({(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}) (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 5)}^{6})}^{2}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{6 \cdot 2}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{12}}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de ${(x - 5)}^{5}$ e ${(x - 5)}^{12}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Fatore ${(x - 5)}^{5}$ de $3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{12}}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.2.1

Fatore ${(x - 5)}^{5}$ de ${(x - 5)}^{12}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{7}}$