Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 1$ na função de linearização.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Etapa 3

Avalie $f (1)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Etapa 3.2

Simplifique $\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$\cos (\frac{π}{6})$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $1$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π}{6} x$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π}{6} x$ .

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

Combine $\frac{π}{6}$ e $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Etapa 4.1.2.2

Combine $\frac{π}{6}$ e $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

Etapa 4.1.2.3

Como $\frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{π}{6}$ e $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

Etapa 4.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

Etapa 4.3.3

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Etapa 4.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- \frac{π}{12}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{π}{12}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Etapa 6.3

Multiplique $- \frac{π}{12} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

Etapa 7