Cálculo Exemplos

$y = \frac{64}{x^{2} + 16}$ , $x = 3$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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Etapa 1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{64}{3^{2} + 16}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{64}{9 + 16}$

Etapa 1.2.3.2

Some $9$ e $16$ .

$y = \frac{64}{25}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = \frac{64}{25}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{64}{x^{2} + 16}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 16}$ como ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 16$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 16$ .

$64 (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 ({(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16])$

Etapa 2.3.4

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$- 128 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 128 \frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 128$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Mova $128$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$- \frac{128 (3)}{{({(3)}^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $128$ por $3$ .

$- \frac{384}{{(3^{2} + 16)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}$

Etapa 2.6.2.2

Some $9$ e $16$ .

$- \frac{384}{25^{2}}$

Etapa 2.6.2.3

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$- \frac{384}{625}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{384}{625}$ e um ponto determinado $(3, \frac{64}{25})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{64}{25}) = - \frac{384}{625} \cdot (x - (3))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{64}{25} = 0 + 0 - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} x - \frac{384}{625} \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} - \frac{384}{625} \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{384}{625} \cdot - 3$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + 3 (\frac{384}{625})$

Etapa 3.3.1.5.2

Combine $3$ e $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{3 \cdot 384}{625}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $3$ por $384$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{1152}{625}$

Etapa 3.3.1.6

Mova $384$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{64}{25}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $\frac{64}{25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25} \cdot \frac{25}{25}$

Etapa 3.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $625$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $\frac{64}{25}$ por $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $25$ por $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{625}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 64 \cdot 25}{625}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $64$ por $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 1600}{625}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $1152$ e $1600$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{384}{625} x) + \frac{2752}{625}$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{384}{625} x + \frac{2752}{625}$

Etapa 4