Cálculo Exemplos

${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{4}$ e $g (w) = 1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $1$ em relação a $w$ é $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{w^{3} + 3}$ como ${(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ e $g (w) = w^{3} + 3$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $w^{3} + 3$ com relação a $w$ é $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [3]))$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $3$ em relação a $w$ é $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Etapa 3.11

Some $3 w^{2}$ e $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2}))$

Etapa 3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 w^{2}))$

Etapa 3.13

Combine $3$ e $\frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} w^{2})$

Etapa 3.14

Combine $\frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $w^{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} w^{2}}{2})$

Etapa 3.15

Mova ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4

Some $0$ e $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{3 w^{2} \cdot 4}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.1

Fatore $2$ de $2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 ({(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$