Cálculo Exemplos

$y = \cot^{-1} (\sqrt{2 t})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot^{-1} (t)$ e $g (t) = \sqrt{2 t}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sqrt{2 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\cot^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cot^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sqrt{2 t}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 t}$ como ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $2 t$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (t)$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 9

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Combine os termos.

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Etapa 12.1

Reescreva ${\sqrt{2 t}}^{2}$ como $2 t$ .

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Etapa 12.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 t}$ como ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{1}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.1.5

Simplifique.

$- \frac{1}{1 + 2 t} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + 2 t}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (1 + 2 t)}$