Cálculo Exemplos

${(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 7$ e $g (x) = 6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot (6 x + 3) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.10

Multiplique $6$ por $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + 0)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.12.1

Some $6$ e $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) \cdot 6}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 7$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $18 x + 9 - 18 x + 42$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $18 x$ de $18 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{0 + 9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $0$ e $9$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Some $9$ e $42$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Fatore $3$ de $6 x + 3$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3 (1))}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x + 1))}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Aplique a regra do produto a $3 (2 x + 1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{3^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $51$ e $9$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $3$ de $51$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $3$ de $9 {(2 x + 1)}^{2}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot 17}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 \frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $4$ e $\frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \cdot \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ por $\frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3} \cdot 17}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $17$ por $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Etapa 5.2.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(6 x + 3)}^{3}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(6 x + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Fatore $3$ de $6 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3 (1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Fatore $3$ de $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x + 1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Aplique a regra do produto a $3 (2 x + 1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $3$ por $3^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $3^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1} \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1 + 3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique ${(2 x + 1)}^{3}$ por ${(2 x + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.2.1

Mova ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} ({(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{3})}$

Etapa 5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{2 + 3}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{5}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{81 {(2 x + 1)}^{5}}$