Cálculo Exemplos

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Etapa 2.1.3.3

Combine $- 16$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{16}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{16}{x} = 0$ por $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16}{x}$ para o numerador.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 16$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $4 x^{2} = 16$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 16$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Divida $16$ por $4$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 3.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2, - 2$ .

$2, - 2$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{16}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $16$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Etapa 8.2.2

Some $- 4$ e $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 2)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Etapa 10.2.1.2

Divida $16$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Etapa 10.2.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 10.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 12$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 11

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 2), (2, \infty)$

Etapa 12

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Etapa 12.2.2

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 12.2.3

Combine $12$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.5.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $16$ de $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Etapa 12.3

Em $x = 3$ , a derivada é $\frac{20}{3}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 13

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(2, \infty)$

Decréscimo em: $(0, 2)$

Etapa 14